Question

如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．

（）分别求出直线和抛物线的函数表达式．

（）设的面积为，的面积为，若，求的值．

（）如图，在（）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、．

①在轴上找一点，使，并求出点的坐标．

②求的最小值．

Answer

（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为；

（2）；

（3）①；②.

【解析】试题分析：对于（1），将点A的坐标代入抛物线的解析式求得a，根据待定系数法求解直线AB的函数表达式；

对于（2），过作轴垂线交于，交抛物线于，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可证△PMN∽△AEN，由，可得，将PN和AN用m表示出来，代入求解即可；

对于（3）①当时，得，设，由旋转可得；②由①可知，，且相似比为，由此，故当旋转到所在直线上时，最小，即为长度，

试题解析： （）把点代入抛物线

得，

∴，，

∴与轴交点，令，

得，

∴．

设为过，，

∴，

∴．

（）∵过作轴垂线交于，交抛物线于，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴

，

，

，

，，

∵，

∴．

（）①在（）的条件下，，

∴，

设，∵旋转，

∴，

若，

则，

∵，

∴，

∴，∴，

∴．

②由①可知，当为时，

，且相似比为，

∴，

∴，

∴当旋转到所在直线上时，最小，即为长度，

∵，，

∴，

∴的最小值为．

点睛：此题是二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.