Question

如图，在中，，，、分别为边、的中点，连结，点从点出发，沿折线运动，到点停止，点在上以的速度运动，在上以的速度运动，过点作于点，以为边作正方形．设点的运动时间为．

（）当点在线段上运动时，线段的长为__________．（用含的代数式表示）

（）当正方形与重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．

（）如图，若点在线段上，且，以点为圆心，长为半径作圆，当点开始运动时，⊙的半径以的速度开始不断增大，当⊙与正方形的边所在直线相切时，求此时的值．

Answer

（）；（）；（）

【解析】试题分析：（1）点P在AD段的运动时间为1s，则DP的长度为（t-1）cm；（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，如图利用“求出面积S的表达式；（3） 分两种情况讨论：①当圆与边相切时和②当圆与相切时，求相应t的值.

试题解析：（）在中，，，

∴，

∵是中点，

∴，

∴点在段的运动时间为，

当点在线段上运动时，段的运动时间为，

∵段运动速度为，∴，

∴答案为．

（）当正方形与重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．

当正方形的边长大于时，重叠部分为五边形，

∴，，，

∴，

∴．

∴，，∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

．

（）①当圆与边相切时，如下图，

当圆与相切时，，

由（）可知，，

∴，

∵以的速度不断增大，

∴，

∴，

∴，

．

②当圆与相切时，

此时，，由（）可知，，

，，

∴，

∴，，，

∵到点停止，

∴，，

∴（舍），

∴．

点睛：本题考查相似综合题、正方形的性质、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确画出图形，确定自变量的取值范围，本题计算量大，比较难，属于中考压轴题.