Question

如图，在中，，以为直径的⊙分别交、于点、，点在的延长线上，且．

（）求证：直线是⊙的切线．

（）若，，求点到的距离．

（）在第（）的条件下，求的周长．

Answer

（1）证明见解析；（2）点到的距离为；（3）的周长为．

【解析】试题分析：（1）根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是 O的切线．（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC=，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4．（3）先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长．

试题解析：（）∵且，

在中，，

∴，

∴，

又∵点在直径上，

∴直线是的切线．

（）如图，作于，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴由勾股定理得，

∴点到的距离为．

（）连接，∵为直径，

∴，

∴中，

，

又∵，

∴，

∵，

∴，∴

在中，，

，

∴的周长为．