Question

如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax²+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．

（1）设a=，m=﹣2时，

①求出点C、点D的坐标；

②抛物线y=ax²+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．

Answer

（1）①（2，﹣1）②（3，﹣ ）（2）y=x2﹣4x

【解析】试题分析：（1）①根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据配方法，可得顶点坐标；根据解方程组，可得C点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标；

②根据菱形的性质，可得G点坐标，根据平行四边形的判定，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得b与a的关系，根据配方法，可得顶点坐标，根据平行线分线段成比例，可得OH的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据相似三角形的对应角相等，可得∠FCD=90°，根据相思三角形的性质，可得关于a的方程，根据抛物线的开口向上，可得a的值．

试题解析：（1）①如图1，

，

当a=时，将B点坐标代入，得y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2顶点坐标为（2，﹣2）；

当m=﹣2时，一次函数的解析式为y=x﹣2．

联立抛物线与直线，得

2﹣2x=x﹣2，

解得x=1，当x=1时，y=﹣，即C点坐标为（1，﹣）．

当x=2时，y=﹣1，即D点坐标为（2，﹣1）；

②假设存在G点，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形是平行四边形．

则CG与DF互相平分，而EF是抛物线的对称轴，且点G在抛物线上

∴CG⊥DF，

∴DCFG是菱形，

∴点C关于EF的对称点G（3，﹣ ）．

设DF与CG与DF相交于O′点，则DO′=O′F=，CO′=O′G=1，

∴四边形DCFG是平行四边形．

∴抛物线y=ax2+bx上存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形，点G的坐标为（3，﹣ ）；

（2）如图2，

，

∵抛物线y=ax2+bx的图象过（4，0）点，16a+4b=0，

∴b=﹣4a．

∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a（x﹣2）2﹣4a的对称轴是x=2，

∴F点坐标为（2，﹣4a）．

∵三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3，

BC：AC=3：1．

过点C作CH⊥OB于H，过点F作FG∥OB，FG与HC交于G点．

则四边形FGHE是矩形．

由HC∥OA，得BC：AC=3：1．

由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得

HE=1，HB=3．

将C点横坐标代入y=ax2﹣4ax，得y=﹣3a．

∴C（1，﹣3a），∴HC=3a，又F（2，﹣4a）．

∴GH=4a，GC=a．

在△BED中，∠BED=90°，若△FCD与△BED相似，则△FCD是直角三角形

∵∠FDC=∠BDE＜90°，∠CFD＜90°，

∴∠FCD=90°．

∴△BHC∽△CGF，

∴，

∴，

∴a2=1，

∴a=±1．

∵a＞0，

∴a=1．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x．

【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．