Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P．

（1）若∠ABC=70°，∠ACB=50°，则∠BPC=　   　°；

（2）求证：∠BPC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）；

（3）若∠A=α，求∠BPC的度数．

Answer

（1）120°；（2）证明见解析；（3）∠BPC=90°+ .

【解析】试题分析：（1）根据已知条件求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论；（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．

试题解析：（1）PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= ×120°=60°，

在△PBC中,∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−60°=120°

故答案为：120；

（2）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE、CF相交于点P，

∴∠PBC=∠ABC, ∠PCB=∠ACB,

∵∠BPC +∠PBC+∠PCB=180°,

∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)= 180°-(∠ABC +∠ACB) =180°- (∠ABC+∠ACB),

∴∠BPC=180°- (∠ABC+∠ACB)；

（3）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∵由（2）可知：∠BPC=180°- (∠ABC+∠ACB)，

∴∠BPC=180°- (180°-∠A)，

∵∠A= ，

∴∠BPC=180°- (180°- )=90°+ .