Question

数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其定义域．

（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线﹣﹣过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；

（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；

（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．

  

Answer

(1) ．定义域为x＞0．(2) （x＞0）．

(3) （ ）．

【解析】试题分析: （1）由四边形ABCD是正方形，可得OB=OD，又由OM⊥BC，易证得OM∥DC，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式；

（2）作OM∥CD交BC于点M，利用（1）中的方法，即可求得y关于x的函数解析式；

（3）首先作ON∥CD交BC于点N，由平行线分线段成比例定理即可求得y关于x的函数解析式．

试题解析:

【解析】
（1）如图:

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB=OD．

∵OM⊥BC，

∴∠OMB=∠DCB=90°，

∴OM∥DC．

∴OM=DC=，CM=BC=．

∵OM∥DC，

∴，

即，

解得．定义域为x＞0．

（2）（x＞0）．

（3）如图:

AD∥BC，，．

过点O作ON∥CD，交BC于点N，

∴，

∴．

∵ON∥CD，，

∴，

∴．

∵ON∥CD

∴

∴

∴关于的函数解析式为（）．

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题的图形变化比较多，难度较大，解题的关键是注意识图，准确应用数形结合思想解题．