Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．

（1）求证：△ABD≌△EBD；

（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．

Answer

（1）△ABD≌△EBD；（2）四边形AFED是菱形．

【解析】试题分析：（1）首先证明∠1=∠2．再由BA⊥AD，BE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°，然后再加上公共边BD=BD可得△ABD≌△EBD；

（2）首先证明四边形AFED是平行四边形，再有AD=ED，可得四边形AFED是菱形．

试题解析：证明：（1）如图，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠DBC．

∵BC=DC，

∴∠2=∠DBC．

∴∠1=∠2．

∵BA⊥AD，BE⊥CD

∴∠BAD=∠BED=90°，

在△ABD和△EBD中，

∴△ABD≌△EBD（AAS）；

（2）由（1）得，AD=ED，∠1=∠2．

∵EF∥DA，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴EF=ED．

∴EF=AD．

∴四边形AFED是平行四边形．

又∵AD=ED，

∴四边形AFED是菱形．

考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质．