Question

已知：如图，正方形ABCD中，点F是对角线BD上的一个动点.

（1）如图1，连接AF，CF，直接写出AF与CF的数量关系；

（2）如图2，点E为AD边的中点，当点F运动到线段EC上时，连接AF，BE相交于点O.

①请你根据题意在图2中补全图形；

②猜想AF与BE的位置关系，并写出证明此猜想的思路；

③如果正方形的边长为2，直接写出AO的长.

Answer

（1）AF=CF（2）① 图形见解析②③.

【解析】试题分析：（1）根据正方形的对称性即可得结论；（2）①根据题意，补全图形即可；②AF⊥BE，由四边形ABCD是正方形，可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB.进而可得ΔADF≌ΔCDF.从而得到1＝∠2；由E为正方形ABCD的AD边的中点，可证ΔABE≌ΔDCE.从而得到∠3＝∠4；由∠2+∠4=90°可知∠1+∠3=90°，进而可得∠AOE=90°，即AF⊥BE.③根据勾股定理可得BE=，因AF⊥BE，根据,即可求得AO的长.

试题解析：

（1）【解析】
AF=CF.

（2）【解析】
① 补全图形：

②.

证明思路如下：

(i)由四边形ABCD是正方形，

可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB.

进而可得≌.从而得到1＝∠2.

(ii)由E为正方形ABCD的AD边的中点，可证≌.

从而得到∠3＝∠4.

(iii)由∠2+∠4=90°可知∠1+∠3=90°，进而可得∠AOE=90°.

即.

③.