Question

如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1）．且对称轴为．

（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）点D在x轴下方的抛物线上，则四边形ABDC的面积是否存在最大值，若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点P的坐标．

Answer

（1）、；A（-1，0），B（3，0）；（2）、D的坐标为（，）；P1（-4，7），P2（4，）；P3（2，-1）．

【解析】试题分析：（1）、根据点C的坐标和对称轴求出函数解析式，然后得出点A和点B的坐标；（2）、首先设点D的坐标，将四边形的面积转化成△AOC+四边形OCDM+△BMD的面积和得出关于a的二次函数，然后根据二次函数的性质求出最值；（3）、本题分①、AB为边时，则需要满足PQ∥AB，PQ=AB=4，得出点P的坐标，②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，设线段AB中点为G，则PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，可证得△PHG≌△QOG，从而得出点P的坐标.

试题解析：（1）、∵抛物线与y轴交于点C（0，-1）．且对称轴为．∴，解得：，

∴抛物线解析式为，令，解得：，， ∴A（-1，0），B（3，0），

（2）、设D（，）（0＜a＜3），作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，∴

∵，∴当时，S四边形ABDC取得最大值， 此时，∴D的坐标为（，）

（3）、①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4，

当x=-4时，y=7；当x=4时，y=； 此时点P的坐标为P1（-4，7），P2的坐标为（4，）；

②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，设线段AB中点为G，则PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，可证得△PHG≌△QOG，

∴GO=GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P横坐标为2，由此当x=2时，y=-1，此时点P的坐标为P3（2，-1），

∴所以符合条件的点为：P1（-4，7），P2（4，）；P3（2，-1）．

考点：（1）、二次函数的综合运用；（2）、平行四边形的性质；（3）、分类讨论思想.