Question

如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连结OM、ON、BM、BN．

求证：（1）△AOM∽△DMN； （2）求∠MBN的度数．

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、45°.

【解析】试题分析：（1）、根据切成的性质得出∠AMO+∠DMN=90°，根据正方形性质得出∠A=∠D=90°，即∠AMO+∠AOM=90°，从而得出∠AOM=∠DMN，得出三角形相似；（2）、作BP⊥MN，根据切线和AD∥BC得出Rt△MAB≌Rt△MPB，得到∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，然后得出Rt△BPN≌Rt△BCN，得出∠PBN=∠CBN，根据∠MBN=∠MBP+∠PBN=∠ABC得出答案.

试题解析：（1）、∵MN是⊙O的切线， ∴OM⊥MN，∴∠AMO+∠DMN=90°，

又∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A=∠D=90°，∴∠AMO+∠AOM=90°， ∴∠AOM=∠DMN，

∴△AMO∽△DMN

（2）、如图，作BP⊥MN于点P，

∵MN是⊙O的切线，∴∠PMB+∠BMO=90°，

∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠MBO=90°， ∵OB=OM，∴∠BMO=∠MBO， ∴∠PMB=∠CBM，

∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB， ∴∠AMB=∠PMB，

在Rt△MAB和Rt△MPB中，， ∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）

∴∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，

在Rt△BPN和Rt△BCN中，， ∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL） ∴∠PBN=∠CBN，

∴∠MBN=∠MBP+∠PBN=∠ABC=45°．

考点：（1）、圆的基本性质；（2）、三角形全等；（3）、角度之间的关系.