Question

如图是的中线，是线段上一点（不与点重合），交于点，，连结.

（1）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；

（2）如图2，当点不与重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.

（3）如图3，延长交于点，若，且.当，时，求的长.

Answer

（1）详见解析；（2）结论成立，理由详见解析；（3）DH=1+.

【解析】

试题分析：（1）由DE//AB，可得同位角相等：∠EDC=∠ABM，由CE//AM，可得同位角相等∠ECD=∠ADB，又由BD=DC，则△ABD≅△EDC，得到AB=ED，根据有一组对边平行且相等，可得四边形ABDE为平行四边形.（2）过点M作MG//DE交EC于点G，则可得四边形DMGE为平行四边形，且ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且AB//GM，即可证得；（3）在已知条件中没有已知角的度数时，则在求角度时往特殊角30°，60°，45°的方向考虑，则要求这样的特殊角，就去找边的关系，构造直角三角形，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线，可得MI//BH,MI=BH，且MI⊥AC，则去找Rt△AMI中边的关系，求出∠CAM；设DH=x,即可用x分别表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由△HDF~△HBA，得到对应边成比例，求出x的值即可.

试题解析：（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，

∵CE//AM，

∴∠ECD=∠ADB，

又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，

∴△ABD≅△EDC，

∴AB=ED，又∵AB//ED,

∴四边形ABDE为平行四边形。

（2）【解析】
结论成立，理由如下：

过点M作MG//DE交EC于点G，

∵CE//AM，

∴四边形DMGE为平行四边形，

∴ED=GM且ED//GM，

由（1）可得AB=GM且AB//GM，

∴AB=ED且AB//ED.

∴四边形ABDE为平行四边形.

（3）

【解析】
取线段HC的中点I，连结MI，

∴MI是△BHC的中位线，

∴MI//BH,MI=BH，

又∵BH⊥AC，且BH=AM，

∴MI=AM，MI⊥AC，

∴∠CAM=30°

设DH=x,则AH=x，AD=2x,

∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,

由（2）已证四边形ABDE为平行四边形，

∴FD//AB，

∴△HDF~△HBA，

∴， 即

解得x=1±（负根不合题意，舍去）

∴DH=1+.

考点：平行四边形的判定与性质