Question

在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点，另一条直角边恒过点；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在轴上点处时，点的横坐标即为该方程的一个实数根（如图1）；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在轴上另—点处时，点的横坐标即为该方程的另一个实数根.

（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点（请保留作出点时直角三角板两条直角边的痕迹）；

（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的就是方程的一个实数根；

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当与之间满足怎样的关系时，点就是符合要求的—对固定点？

Answer

（1）作图见解析（2）证明见解析（3）A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等（4）m1+m2=-，m1m2+n1n2=.

【解析】

试题分析：（1）根据题目中给的操作步骤操作即可得出图2中的图.

（2）在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.依题意可证△AOC∽△CDB.然后根据相似三角形对应边的比相等列出式子，化简后为m2-5m+2=0，从而得证。

（3）将方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法即可得答案。

（4）以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得..化简后为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又x2+x+=0.再依据相对应的系数相等即可求出。

试题解析：（1）【解析】
如图2所示：

（2）证明：在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.

根据题意可证△AOC∽△CDB.

∴.

∴.

∴m（5-m）=2.

∴m2-5m+2=0.

∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.

（3）【解析】
方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为

x2+x+=0.

模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.

（4）【解析】
以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,

设方程的根为x，根据三角形相似可得.

上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.

又ax2+bx+c=0,

即x2+x+=0.

比较系数可得：m1+m2=-.

m1m2+n1n2=.

考点：1、一元二次方程的解，2、根与系数的关系，3、作图—基本作图，4、相似三角形的判定与性质