Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

ɑ	30°	40°	50°	60°
β	120°	130°	140°	150°
γ	150°	140°	130°	120°

猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：

（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．

Answer

（1）β=α+90°，γ=﹣α+180°（2）5

【解析】

试题分析：（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；

（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r.

试题解析：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°

连接OB，

∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，

∵OB=OA，

∴∠OBA=∠OAB=α，

∴∠BOA=180°﹣2α，

∴2β=360°﹣（180°﹣2α），

∴β=α+90°，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴OE是线段BC的垂直平分线，

∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°

∵∠BCA=∠EDC+∠CED，

∴β=90°+∠CED，

∴∠CED=α，

∴∠CED=∠OBA=α，

∴O、A、E、B四点共圆，

∴∠EBO+∠EAG=180°，

∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，

∴γ+α=180°；

（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，

∴α=45°，β=135°，

∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，

由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，

∴∠BEC=90°，

∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，

∴，

∴，

设CE=3x，AC=x，

由（1）可知：BC=2CD=6，

∵∠BCE=45°，

∴CE=BE=3x，

∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，

x=，

∴BE=CE=3，AC=，

∴AE=AC+CE=4，

在Rt△ABE中，

由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，

∴AB=5，

∵∠BAO=45°，

∴∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，设半径为r，

由勾股定理可知：AB2=2r2，

∴r=5，

∴⊙O半径的长为5．

考点：1、圆的综合问题，2、勾股定理，3、解方程，4、垂直平分线的性质