Question

如图，已知抛物线过点，，.点为抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）过点作轴，垂足为点.若四边形为正方形（此处限定点在对称轴的右侧），求该正方形的面积；

（3）若，，求点的横坐标.

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3（2）24+8或24﹣8（3）点M的横坐标为、2、﹣1、

【解析】

试题分析：（1）待定系数法求解可得；

（2）设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），分别表示出ME=|﹣m2+2m+3|、MN=2m﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；

（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3）、点D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），

∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），

解得：a=﹣1，

∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣=1，

如图1，设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），

∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，

∴点N的横坐标为2﹣m，

∴MN=2m﹣2，

∵四边形MNFE为正方形，

∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，

分两种情况：

①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），

当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；

②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），

当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；

综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．

（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，

把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：

，解得： ，

∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，

设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3），点D（a，﹣a+3），

①点M在对称轴右侧，即a＞1，

则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2，

若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a=或a=＜1（舍去）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a，

解得：a=﹣1（舍去）或a=2；

②点M在对称轴右侧，即a＜1，

则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a，

若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，

解得：a=﹣1或a=2（舍）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a=（舍去）或a=；

综上，点M的横坐标为、2、﹣1、．

考点：二次函数的综合