Question

已知：为⊙的直径，，弦，直线与相交于点，弦在⊙上运动且保持长度不变，⊙的切线交于点.

（1）如图1，若，求证：；

（2）如图2，当点运动至与点重合时，试判断与是否相等，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）相等

【解析】

试题分析：（1）如图1，连接OD、OE，证得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等边三角形，进一步证得DF⊥CE即可证得结论；

（2）根据切线的性质以及等腰三角形的性质即可证得结论．

试题解析：（1）如图1，连接OD、OE，

∵AB=2，

∴OA=OD=OE=OB=1，

∵DE=1，

∴OD=OE=DE，

∴△ODE是等边三角形，

∴∠ODE=∠OED=60°，

∵DE∥AB，

∴∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°，

∴△AOD和△△OE是等边三角形，

∴∠OAD=∠OBE=60°，

∴∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°，

∴△CDE是等边三角形，

∵DF是⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DFE=90°，

∴DF⊥CE，

∴CF=EF；

（2）相等；

如图2，点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，

∵⊙O的切线DF交BC于点F，

∴BF=DF，

∴∠BDF=∠DBF，

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴∠FDC=∠C，

∴DF=CF，

∴BF=CF．

考点：1、切线的性质，2、平行线的性质，3、等边三角形的判定，4、等腰三角形的判定和性质