Question

如图，四边形为一个矩形纸片，，，动点自点出发沿方向运动至点后停止.以直线为轴翻折，点落到点的位置.设，与原纸片重叠部分的面积为.

（1）当为何值时，直线过点？

（2）当为何值时，直线过的中点？

（3）求出与的函数关系式.

Answer

（1）当x=时，直线AD1过点C（2）当x=时，直线AD1过BC的中点E（3）当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=

【解析】

试题分析：（1）根据折叠得出AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△PCD1中，根据勾股定理得出方程，求出即可；

（2）连接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理求出AE，求出AD1=AD=2，PD=PD1=x，D1E=﹣2，PC=3﹣x，在Rt△PD1E和Rt△PCE中，根据勾股定理得出方程，求出即可；

（3）分为两种情况：当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，设PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x﹣a）2+22=a2，求出a即可．

试题解析：

（1）

如图1，∵由题意得：△ADP≌△AD1P，

∴AD=AD1=2，PD=PD1=x，∠D=∠AD1P=90°，

∵直线AD1过C，

∴PD1⊥AC，

在Rt△ABC中，AC=，CD1=﹣2，

在Rt△PCD1中，PC2=PD12+CD12，

即（3﹣x）2=x2+（﹣2）2，

解得：x=，

∴当x=时，直线AD1过点C；

（2）如图2，

连接PE，

∵E为BC的中点，

∴BE=CE=1，

在Rt△ABE中，AE==，

∵AD1=AD=2，PD=PD1=x，

∴D1E=﹣2，PC=3﹣x，

在Rt△PD1E和Rt△PCE中，

x2+（﹣2）2=（3﹣x）2+12，

解得：x=，

∴当x=时，直线AD1过BC的中点E；

（3）如图3，

当0＜x≤2时，y=x，

如图4，

当2＜x≤3时，点D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠2，

∵∠1=∠3（根据折叠），

∴∠2=∠3，

∴AF=PF，

作PG⊥AB于G，

设PF=AF=a，

由题意得：AG=DP=x，FG=x﹣a，

在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x﹣a）2+22=a2，

解得：a=，

所以y==，

综合上述，当0＜x≤2时，y=x；当2＜x≤3时，y=．

考点：1、勾股定理，2、折叠的性质，3、矩形的性质，4、分类推理思想