Question

如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax²+bx+经过A，B两点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

Answer

（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+ （3）

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；

（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．

试题解析： （1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，

∴B（3，0），C（0，），

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO==，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴=tan30°=，即=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；

（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴当DM有最大值时，其周长有最大值，

∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，

∴可设M（t，﹣ t2+t+），则D（t，﹣ t+），

∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣ t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+ ，

∴当t=时，DM有最大值，最大值为，

此时DM=×=，

即△DMH周长的最大值为．

考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想