Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析（2）y=x+2（0＜x＜2）（3）当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．

【解析】

试题分析：（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；

（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；

（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时；②当AE=ED时；③当AD=AE时，讨论即可得到答案.

试题解析：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，

∴∠ABD=∠ACB=30°，

∴∠ABD=∠ADE=30°，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，

∴∠EDC=∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

过A作AF⊥BC于F，

∴∠AFB=90°，

∵AB=2，∠ABF=30°，

∴AF=AB=1，

∴BF=，

∴BC=2BF=2，

则DC=2﹣x，EC=2﹣y，

∵△ABD∽△DCE，

∴，

∴，

化简得：y=x+2（0＜x＜2）；

（3）当AD=DE时，如图2，

由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，

则AB=CD，即2=2﹣x，

x=2﹣2，代入y=x+2，

解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，

当AE=ED时，如图3，

∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，

∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，

则ED=EC，即y=（2﹣y），

解得：y=，即AE=，

当AD=AE时，

∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，

此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，

∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．

考点：1、三角形相似的性质和判定，2、等腰三角形的性质，3、直角三角形30°角的性质