Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E，

(1)求证：CF=CG；

(2)连接DE，若BE=4CE，CD=2求DE的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）DE=

【解析】分析：（1）连接AC，首先可通过DG∥AB，AB=BC证得AC为∠DCE的角平分线，从而得到△ADC≌△AEC，可知CD=CE；再由∠FDC=∠GEC=90°，∠FCD=∠GCE，可判定△FDC≌△GEC，即可得CF=CG．（2）由已知条件，可求得AE、AC的长，法一：可利用C、A分别是DE垂直平分线上的点，并通过解直角三角形AEC的面积求得EH的长，从而得到ED的长．法二：通过证明△ADE∽△BAC可得，从而求得DE的长．

本题解析：

(1)证明：连接AC

∵DC∥AB,AB=BC, ∴∠1=∠CAB, ∠CAB=∠2,

∴∠1=∠2，∠ADC=∠AEC=90°,AC=AC,

∴△ADC≌△AEC,∴CD=CE

∵∠FDC=∠GEC=90°, ∠3=∠4, ∴△FDC≌△GEC,

∴CF=CG,

(2)【解析】
由(1)知，CE=CD=2,∴BE=4CE=8,∴AB=BC=CE+BE=10,

∴在RT△ABE中，AE= ,

∴在RT△ACE中，AC= ,

法一：由(1)知，△ADC≌△AEC,∴CD=CE,AD=AE,

∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，

∴DE⊥AC,DE=2EH,

在RT△AEC中， ,

∴ ,

∴DE=2EH=2× .

法二：在RT△AEC中，∠2+∠6=90°,

在RT△AEH中，∠5+∠6=90°,∴∠2=∠5,

∵AD=AE,AB=BC, ∴∠5=∠7，∠CAB=∠2

∴∠7=∠CAB,∴△ADE∽△BAC,

∴ , 即 ,

∴DE= .