Question

如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.

（1）求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OD，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

又∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，

∴BD⊥OD，

∴BD是⊙O切线；

（2）连接DE，

∵AE是直径，

∴∠ADE=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠ADE=∠C，

∴DE∥BC，

又∵D是AC中点，

∴AD=CD，

∴AD：CD=AE：BE，

∴AE=BE，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴AD：AE=AC：AB，

∴AC：AB=4：5，

设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，

∴BC：AB=3：5，

∵BC=6，

∴AB=10，

∴AE=AB=10．

【解析】试题分析：（1）、连接OD，根据△AOD为等腰三角形可得∠A=∠ODA，根据∠A+∠CDB=90°可得∠ODA+∠CDB=90°，从而得出∠BDO=90°；（2）、连接OE，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADE=90°，根据D为中点可得E为AB的中点，根据△ADE和△ACB相似可得AC：AB=4:5，然后求出BC的长度，从而得出直径的长度.

试题解析：（1）、连接OD，在△AOD中，OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA，

又∵∠A＋∠CDB＝90° ∴∠ODA＋∠CDB＝90°， ∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，

∴BD与⊙O相切．

（2）、连接DE，∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， ∴DE∥BC.

又∵D是AC的中点，∴AE＝BE. ∴△AED∽△ABC.

∴AC∶AB＝AD∶AE. ∵AD：AE=4:5 ∴AC∶AB＝4∶5，

令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x. ∵BC＝6，∴AB＝10，

∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.

考点：（1）、切线的判定；（2）、三角形相似的应用.