Question

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

【特例探究】

（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=　　，b=　　；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=　　，b=　　；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．

Answer

（1）4，4；，．（2）a2+b2=5c2，理由见解析.(3)4.

【解析】试题分析：（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）【解析】
如图1中，∵CE=AE，CF=BF，

∴EF∥AB，EF=AB=2，

∵tan∠PAB=1，

∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，

∴PF=PE=2，PB=PA=4，

∴AE=BF==2．

∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．

如图2中，连接EF，

，∵CE=AE，CF=BF，

∴EF∥AB，EF=AB=1，

∵∠PAB=30°，

∴PB=1，PA=，

在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，

∴PE=，PF=，

∴AE==，BF==，

∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，

（2）结论

证明：如图3中，连接EF．

∵AF、BE是中线，

∴EF∥AB，EF=AB，

∴△FPE∽△APB，

∴==，

设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，

∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，

b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，

c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，

∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．

（3）【解析】
如图4中，在△AGE和△FGB中，

，

∴△AGE≌△FGB，

∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，

同理可证△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=CF=2BF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四边形CEPF是平行四边形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）可知AB2+AF2=5BF2，

∵AB=3，BF=AD=，

∴9+AF2=5×（）2，

∴AF=4．

考点：四边形综合题．