Question

如图，抛物线y=x²+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM周长最小时，求点M的坐标及△ACM的最小周长．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．顶点D的坐标为：（，﹣）；（2）△ABC是直角三角形．（3）3．

【解析】

试题分析：（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；

（2）分别得出AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；

（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．

【解析】
（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，

∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，

解得：b=﹣，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．

y=（x﹣）2﹣，

∴顶点D的坐标为：（，﹣）；

（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．

当y=0时，x2﹣x﹣2=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴B （4，0），

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．

∴△ABC是直角三角形．

（3）如图所示：连接AM，

点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，

MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，

设直线BC解析式为：y=kx+d，则，

解得：，

故直线BC的解析式为：y=x﹣2，

当x=时，y=﹣，

∴M（，﹣），

△ACM最小周长是：AC+AM+MC=AC+BC=+2=3．

考点：二次函数综合题．