Question

如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若CD=3，AC=3，求⊙O的半径长．

Answer

（1）证明：连结OC（如图所示）

则∠ACO=∠CAO （等腰三角形，两底角相等）

∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD.

又∵AD⊥CD

∴AD∥CO

∴∠DAC=∠ACO （两直线平行，内错角相等）

∴∠DAC=∠CAO

∴AC平分∠BAD ----------------5分

（2）过点E画OE⊥AC于E（如图所示）

在Rt△ADC中，AD==6

∵OE⊥AC， ∴AE=AC=

∵ ∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠

∴△AEO∽△ADC

∴即

∴AO=即⊙O的半径为. ----------------5分

【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由CD切⊙O于C，根据切线的性质，可得OC⊥CD，又由AD⊥CD，可得OC∥AD，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；

（2）首先过点O作OE⊥AC于E，由CD=3，AC=3，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求得AD的长，由垂径定理，即可得AE的长，然后易证得△AEO∽△ADC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O的半径长．

试题解析：（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∵CD切⊙O于C，

∴CO⊥CD．

又∵AD⊥CD，

∴AD∥CO，

∴∠DAC=∠ACO，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD；

（2）【解析】
过点O作OE⊥AC于E，

∵CD=3，AC=3，

在Rt△ADC中，AD=，

∵OE⊥AC，

∴AE=AC=，

∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，

∴△AEO∽△ADC，

∴，

即，

∴AO=，

即⊙O的半径为．

考点：1.切线的性质；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定与性质．