Question

我们知道有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的四边形中是等对边四边形的图形的名称.

（2）如图1，在中，点分别在上，且相交于点，若， .请你写出与相等的角.

（3）我们易证图中的四边形是等对边四边形.

（提示：如图2，可证≌再证≌，可得到结论.不需证明）

若在中，如果是不等于的锐角， 分别在上，且相交于点， .探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

Answer

（1）平行四边形（答案不唯一）；（2）（3）证明见解析

【解析】 （1）本题理解等对边四边形的图形的定义,平行四边形,等腰梯形就是；（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形是等对边四边形；（3）作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD=CE，所以四边形是等边四边形.
【解析】
（1）如：平行四边形、等腰梯形等．
（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），
∵∠BOD=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°，
∴∠A=∠BOD，
猜想：四边形DBCE是等对边四边形；
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
证法一：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．

∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，∴BF=CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，∴△BDF≌△CEG，
∴BD=CE
∴四边形DBCE是等对边四边形．
证法二：如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．

∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，
∴在△BDC与△CFB中，
∠DBC=∠FCB，BC=CB，∠DCB=∠EBC，

∴△BDC≌△CFB（ASA），
∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，
∴∠ADC=∠CFE，
∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠FEC=∠CFE，
∴CF=CE，
∴BD=CE，
∴四边形DBCE是等对边四边形．
“点睛”解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题．