Question

(本题12分)如图，O是坐标原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D在边OC上，点B（6,5）,且.

（1）填空：CD的长为_____________；

（2）若点E是BD的中点，将过点E的直线l绕着点E旋转，分别与直线OA、BC相交于点M、N，与直线AB相交于点P，连结AE.

①设点P的纵坐标为t，当△PBE∽△PEA时，求t的值；

②试问：在旋转的过程中，线段MN与BD能否相等？若能，请求出CN的长；若不能，请说明理

Answer

(1) (2) （3）与能相等，理由见解析.

【解析】（1）根据点B的坐标，可得BC=6.利用tan∠CBD=，即可解答；

（2）①当△PBE∽△PEA时， =，即PE2=PA×PB. 过E作FG∥BC分别交OC、AB于G、F，得到GE是三角形BCD的中位线，从而得到BF=CG=CD=1，GE=BC=3，AF=4，EF=3，由PA=t，PB=t-5，PE=t-4，利用勾股定理得，PE2=PF2+EF2=（t-4）2+32，根据PE2= PA×PB=|t（t-5）|，得到（t-4）2+32=t（t-5），解方程即可解答；

②MN与BD能相等，理由如下：利用在矩形OABC中，∠BCO=90°，CD=2，BC=6，求出BD==2，如图2，过O作OQ∥MN，交BC于点Q,则OQ=MN=BD=2，CQ=，从而确定（，5），求出直线OQ的函数关系式为y=x，直线MN的函数关系式为y=x+4-，令y=5，得x+4-=5，

解得：x=，所以N1（ ，5）由矩形对称性得：N2（，5）所以CN=也符合题意.

【解析】
(1) ；

(2) ①方法一：当∽时， ，即.

过作分别交、于、，则是的中位线，

∴，

∴， ，

∵, , ,

由勾股定理得， ,

∴.

由解得，

由得， ，此方程没有实数根，

∴；

方法二：求出， ，

当∽时， ，即，

∴，整理得， .

解得， （不合题意舍去）.∴；

②方法一： 与能相等，理由如下：

在矩形中， ， ， ，∴，

过作，交于点，则， ，

∴，直线的函数关系式为.

设直线的函数关系式为，把代入得， ，

解得，即直线的函数关系式为.

令，得，解得，

∴.由矩形的对称性得， .∴也符合题意.

故.

方法二： 与能相等，理由如下：

在矩形中， ， ， ，∴.

若，如图，过作，

交于点，过作⊥于.

则， ，△∽△，

又， ，

∴，即. ∴.

根据矩形的对称性， .

∴.

“点睛”本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的性质和判定、勾股定理、旋转的性质、待定系数法求解析式，解决本题的关键是辅助线的作法，结合图象用待定系数法求直线的解析式.