Question

（本题8分））如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．

求证：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案.

【解析】
（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°.

在△PCO和△PDO中，CO=DO,PO=PO,PC=PD，∴△PCO≌△PDO（SSS）∴∠PCO=∠PDO=90°.又∵DO是⊙O的半径，∴PD与⊙O相切

（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，因为PC=BC．∴∠CPB=∠CBP. ∴∠CBP=∠DPB.

∴BC=PD.所以四边形PCBD是平行四边形.

又∵PC=PD，∴四边形PCBD是菱形.

“点睛”此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．