Question

如图1，抛物线，其中，点A（-2，m）在该抛物线上，过点A作直线l∥x轴，与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C.

（1）求m的值.

（2）当a=2时，求点B的坐标.

（3）如图2，以OB为对角线作菱形OPBQ，顶点P在直线l上，顶点Q在x轴上.

①若PB=2AP，求a的值.

②菱形OPBQ的面积的最小值是          .

Answer

（1）当x=-2时，y=4a-4（a-1）=4（2）点B的坐标为（1,4）（3）① ②菱形的最小面积=16

【解析】（1）把x=-2代入抛物线即可得到y的值；（2）先求出抛物线表达式，然后求出x的解；（3）利用抛物线的对称轴即可求出点B的坐标和a的值以及菱形OPBQ的面积的最小值.

【解析】
（1）当x=-2时，

（2）当a=2时，抛物线表达式为

当y=4时，，

解得

把-2舍去，点B的坐标为（1,4）

（3）①当点P在线段AB上时，设CP=x，则AP=2+x,BP=OP=4+2x

在Rt△OCP中，，

解得

∴CP=0，CB=PB=4，点B的坐标是（4,4）

由题可知抛物线的对称轴：直线

又由点A与点B关于对称轴对称，则，解得

当点P在射线BA上时，设CP=x，则AP=x-2,BP=OP=2x-4

在Rt△OCP中， ，解得（舍去），，

∴CP=，PB=，CB=点B的坐标是（,4）

由点A与点B关于对称轴对称，则，解得

②菱形的最小面积=16

“点睛”本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是由点A与点B关于对称轴对称求出a的值，会运用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．