Question

如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线 经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点.

（1）求出点B和点C的坐标.

（2）求此抛物线的函数解析式.

（3）在抛物线x轴上方存在一点P（不与点C重合），使，请求出点P的坐标.

Answer

（1）B(3，0), C(0，3) （2）（3）P(2,3)

【解析】（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标．
（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的长，由于S△PAB=S△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．

【解析】
（1）因为B,C分别在x轴和y轴上，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，

故C（0，3）、B（3，0）

（2）把B、C两点坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得c=3，-9+3b+3=0，

解出:c=3，b=2，

故抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

(3) 因为点A在抛物线上，又在x轴负半轴，所以求得点A坐标（-1,0）

所以AB=4

得出

此时P点的纵坐标须为3或-3

P点在抛物线上，则：3=-x2+2x+3或-3=-x2+2x+3，

由3=-x2+2x+3解得x=0（此时不存在三角形，舍去）或x=2，此时，P坐标为P1(2，3)

由-3=-x2+2x+3解得x=或x=，此时P坐标为P2(，-3) ，P3（，-3）

综上所述，存在点P，使，坐标分别为P1(2，3)， P2(，-3) ，P3（，-3）

“点睛”难度系数较大，中考常见题目，考查一次函数及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，注意点P存在不同情况，须要考生分类讨论．