Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E，F分别为BC，CD边的中点，连接BF，DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF．则下列结论不正确的是(       )

A. CP平分∠BCD    B. 四边形ABED为平行四边形

C. CQ将直角梯形分为面积相等的两部分    D. △ABF为等腰三角形

Answer

C

【解析】∵BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，∴CF=CE，BE=DF，

在△BCF和△DCE中，∵BC＝CD，∠BCF＝∠DCE(公共角)，CF＝CE，∴△BCF≌△DCE（SAS），

∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，

在△BPE和△DPF中，∵∠FBC＝∠EDC，∠BPE＝∠DPF(对顶角相等)， BE＝DF，

∴△BPE≌△DPF（AAS），∴BP=DP，

在△BPC和△DPC中，∵BP＝DP，CP＝CP，BC＝DC，，∴△BPC≌△DPC（SSS），

∴∠BCP=∠DCP，即CP平分∠BCD，故A正确；

又∵AD=BE且AD∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，故B正确；

显然S△BPC=S△DPC，但是S△BPQ≠S四边形ADPQ，∴S△BPC+S△BPQ≠S△DPC+S四边形ADPQ，即CQ不能将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分，故C不正确；

∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即△ABF为等腰三角形，故D正确；

故选C．

点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定、等腰三角形的判定等，能正确地识图，从图中找寻到有关的条件进行推导是解题的关键.