Question

在平面直角坐标系xOy中，对于P(m，n)，若点Q的坐标为(m，|m-n|)，则称点Q为点P的关联点．

（1）请直接写出点(2，2)的关联点；

（2）如果点P在一次函数y=x-1的图像上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；

（3）已知点P在一次函数y=x(x>0)和一次函数y=x(x>0)所围成的区域内，且点P的“关联点”Q在二次函数的图像上，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．

Answer

（1）（2；0）；（2）(2；1) ；（3）PQ的最大值为，此时P（，）

【解析】试题分析：（1）直接根据关联点的定义可求得答案；（2）设P（x，x-1），由关联点的定义表示出Q点的坐标，由Q与P重合可求得P点的坐标；（3）设点P的坐标为（a，b），由题意可知：a>0，b>0且a>b，2b>a，然后得到点Q的坐标为（a，a-b），再列出PQ与a的函数关系式，最后利用配方法可求得PQ的最大值，以及点P的坐标．

试题解析：(1)点(2，2)的关联点的坐标为(2，|2−2|)，即(2，0).

(2)设P(x，x−1)，则点P的关联点的坐标为(x，1).

∵点P的“关联点”Q与点P重合，

∴x−1=1，解得x=2.

∴点P的坐标为(2，1).

(3)设点P的坐标为(a，b).

∵点P在一次函数y=x(x>0)和一次函数y=x(x>0)所围成的区域内，

∴a>0，b>0且a>b，2b>a.

∴点P的“关联点”Q的坐标为(a，a−b).

∵点Q在二次函数y=x2的图象上，

∴a−b=a2,整理得b=a−a2.

∵PQ=b−(a−b)=2b−a，

∴PQ=2(a−a2)−a=−2a2+a=−2(a−)2+.

∴当a=时，PQ有最大值,最大值为.

把a=代入b=a−a2得b=.

∴点P的坐标为(，6).

点睛：本题主要考查二次函数的综合应用，解答本题主要应用了关联点的定义，二次函数的性质。根据“关联点”的定义找出点的关联点，列出PQ的长与点P的横坐标之间的函数关系式是解题的关键.