Question

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F． 

（1）求证：∠ABC=2∠CAF； 

（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长．

 

Answer

（1）证明见试题解析；（2）CE=2，AF=．

【解析】试题分析：（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；

（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2求得答案．

试题解析：（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，

∴∠ABC=2∠ABD．∴∠ABC=2∠CAF．

（2）如图，连接AE，∴∠AEB=90°，设CE=x，∵CE：EB=1：4，

∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，

即（2）2=x2+（3x）2，∴x=2．∴CE=2．

考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．