Question

已知关于x的方程（x-3）(x-2)-p²=0.

（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两实数根分别为x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²=3 x₁x₂，求实数p的值.

Answer

（1）详见解析；（2）根与系的关系

【解析】试题分析：（1）先把方程化成一般形式，在计算根的判别式，判定△＞0，方即可得程总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解．

试题解析：证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，

x2﹣5x+6﹣p2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，

∵无论p取何值时，总有4p2≥0，

∴1+4p2＞0，

∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，

∵，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，

∴52=5（6﹣p2），

∴p=±1．

考点：根的判别式；根与系的关系．