Question

如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x²﹣2x﹣3=0的两个根.

（1）求线段BC的长度；

（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；

（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标。

Answer

（1）线段BC的长度为4；

（2）AC⊥AB，理由见解析；

（3）点D的坐标为（﹣2，1）

【解析】解（1）∵x2﹣2x﹣3=0，

∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4，

（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA=，OB=3，OC=1，

∴OA2=OB•OC，

∵∠AOC=∠BOA=90°，

∴△AOC∽△BOA，

∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，

∵DB=DC，

∴点D在线段BC的垂直平分线上，

∴D的纵坐标为1，

∴把y=1代入y=﹣x﹣1，

∴x=﹣2，

∴D的坐标为（﹣2，1），