Question

如图，抛物线与轴交于A（，0）、B（，0）两点，且，与轴交于点，其中,是方程的两个根。

（1）求抛物线的解析式；   

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

（3）点D(4，k)在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）；（2）（2，0）；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程解法得出A，B两点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；

（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出=，进而得出函数的最值；

（3）分别根据当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时，分析得出符合要求的答案．

试题解析：

（1）∵，

∴，

∴，

又∵抛物线过点A、B、C，

故设抛物线的解析式为，

将点C的坐标代入，求得

∴抛物线的解析式为

（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H

∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0），

∴AB=8，AM=m+2。

∵MN∥BC，

∴. △MNA和△BCA相似，

∴，

∴，

∴

∴

∴当m=2时， 有最大值4。

此时，点M的坐标为（2，0）。

（3）∵点D（4，k）在抛物线上，

∴当x=4时，k=-4，

∴点D的坐标是（4，-4）。

如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF DE,AF=DE，

∵D（4，-4），∴E（0，-4），DE=4。

∴F₁(-6,0)，F₂(2,0)。

如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，

设F(n,0)，则平行四边形的对称中心为（，0）。

∴E′的坐标为（n-6，4）。

把E′（n-6，4）代入，得

解得

∴， .

点睛：本题主要考查的知识点有：利用待定系数法求二次函数解析式的方法，图形面积的解法，相似三角形的性质等；在求解图形面积问题时，通常可以先找出与所求相关的规则图形，然后利用图形面积间的和差关系来找出突破口.