Question

如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

(1)、求证：DE⊥AG；

(2)、如图2，正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°），得到正方形OE′F′G′；

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为2，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、①、α=30°或150°；②、最大值为4+，α=315°.

【解析】

试题分析：(1)、延长ED交AG于点H，根据正方形的性质得出△AOG和△DOE全等，从而得出∠AGO=∠DEO，

根据∠AGO+∠GAO=90°得出∠GAO+∠DEO=90°，即得出垂直；(2)、①、根据∠OAG′=90°和∠OAG′=90°两种情况分别进行计算；②当α=315°时， A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为4+.

试题解析：(1)、延长ED交AG于点H， ∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA=OD，OA⊥OD

在△AOG和△DOE中 ∴△AOG≌△DOE ∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°即DE⊥AG

(2)、①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：

(I)：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，

∵OA=OD=OG=OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；

(II)：α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，

同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．

综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．

②当α=315°时， A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，最大值为4+，α=315°．

考点：(1)、三角形全等；(2)、分类讨论思想；(3)、正方形的性质.