Question

如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是边AB、BC所在直线上的两个动点，且满足AD=BE，连接AE、CD，直线AE、CD交于点P。

（1）如图（1），当点D、E在线段AB、BC上时，求∠APC的度数；

（2）如图（2），当点D、E分别是AB、BC延长线上的两个动点，连接AE、CD，DC的延长线与AE交于点P，求∠APC的度数；

（3）若等边三角形边长为，当D、E在运动的过程中，连接BP，直接写出线段BP的最小值和最大值.

图（1）      图（2）

Answer

（1）120°；（2）60°；（3）BP的最小值为2，BP的最大值为6

【解析】试题分析：（1）证△ABE≌△CAD (SAS)，从而可求得∠APC=120°；

（2）证△ABE≌△CAD (SAS)，从而可求得∠APC=60°；

（3）当D、E分别移动到AB、BC中点时，BP的最小值为2 ；当点D、点E在AB、BC的延长线上无限移动时，∠BAP逐渐接近120°，此时BP的最大值为6

试题解析：

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∵AD=BE，∴△ABE≌△CAD (SAS)，∴∠BAE=∠ACD，∵∠EPC=∠ACD+∠EAC，∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°，∴∠EPC=60°，∴∠APC=180°-∠EPC=120°；

（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，∴∠DBC=120°，∵AD=BE，∴△ABE≌△CAD (SAS)，∴∠D=∠E，又∵∠BCD=∠PCE，∴∠CPE=∠DBC=120°，∴∠APC=180°-∠CPE=60°

（3）BP的最小值为2 BP的最大值为6.

点睛：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地判断△ABE与△CAD全等是解决本题的关键.