Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，∠ACD=120°．

（1）求证：AC=CD；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，则有∠OCD=90°，由已知从而可得∠A的度数，由内角和从而可得∠D的度数，从而得证；

（2）用△OCD的面积减去扇形OCB的面积即可得到阴影部分的面积.

试题解析：（1）连接OC，∵OC是切线，∴∠OCD=90°，∵∠ACD=120°，∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=30°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠D=180°-∠A-∠ACD=30°=∠A，∴AC=CD；

（2）由（1）可得∠COD=60°，∠OCD=90°，∴OD=2OC=4，CD=2 ，

∴S阴影=S△OCD-S扇形OCB= ×2×2 - =