Question

如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在弧AQ上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．

（1）弧AP的长与弧QB的长之和为定值l，请直接写出l的值；

（2）请直接写出点M与AB的最大距离，此时点P，A间的距离；点M与AB的最小距离，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积．

（3）当半圆M与AB相切时，求弧AP的长．

（注：结果保留π，cos 35°＝，cos 55°＝）

Answer

（1）；（2），2， ， ；（3）弧AP的长为或．

【解析】试题分析：（1）半圆O的长度是固定不变的，由于PQ也是定值，所以的长度也是固定值，所以与的长之和为定值；

（2）过点M作MC⊥AB于点C，当C与O重合时，M与AB的距离最大，此时，∠AOP=60°，AP=2；当Q与B重合时，M与AB的距离最小，此时围成的封闭图形面积可以用扇形DMB的面积减去△DMB的面积即可；

（3）当半圆M与AB相切时，此时MC=1，且分以下两种情况讨论，当C在线段OA上；当C在线段OB上，然后分别计出的长．

试题解析：

(1)如图1,连接OP、OQ,

∵AB=4，

∴OP=OQ=2，

∵PQ=2，

∴△OPQ是等边三角形，

∴∠POQ=60°，

∴，

又∵半圆O的长为： π×4=2π，

∴=2π− ，

∴；

（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，连接OM，

∵OP=2,PM=1,

∴由勾股定理可知：OM=，

当C与O重合时，

M与AB的距离最大,最大值为，

连接AP，

此时，OM⊥AB，

∴∠AOP=60∘，

∵OA=OP，

∴△AOP是等边三角形，

∴AP=2，

如图3,当Q与B重合时,连接DM，

∵∠MOQ=30°，

∴MC=OM=，

此时,M与AB的距离最小,最小值为，

设此时半圆M与AB交于点D，

DM=MB=1，

∵∠ABP=60°，

∴△DMB是等边三角形，

∴∠DMB=60°，

∴扇形DMB的面积为： ，

△DMB的面积为： MC⋅DB=，

∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为： ；

（3）当半圆M与AB相切时,

此时，MC=1，

如图4，当点C在线段OA上时，

在Rt△OCM中，

由勾股定理可求得：OC=，

∴cos∠AOM=，

∴∠AOM=35°，

∵∠POM=30°，

∴∠AOP=∠AOM−∠POM=5°，

∴，

当点C在线段OB上时，

此时,∠BOM=35°,

∵∠POM=30°，

∴∠AOP=180∘−∠POM−∠BOM=115°

∴，

综上，弧AP的长为或．