Question

如图①，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足（a+4）²+=0，过C作CB⊥x轴于B．

（1）求三角形ABC的面积．

（2）若线段AC与y轴交于点Q（0，2），在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形QCP的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图②，求∠AED的度数．

Answer

（1）16；（2）存在，P点坐标为（0，10）或（0，-6）；（3）45°

【解析】（1）根据非负数的性质即可得出结果；

（2）设P点坐标为（0，y），根据S△PQC=S△ABC=16列出方程即可求出点P的坐标；

（3）过点E作EF∥AC，通过平行的性质可证∠AED=∠CAE+∠BDE ，再通过角平分线的性质和等量代换即可求出结果.

，

【解析】
（1）∵（a+4）2+=0，

又∵（a+4）2+≥0，≥0

∴，

∴，

∴A（-4，0），C（4，4），B（4，0），

∴S△ABC=•AB•BC=×8×4=16．

（2）设P点坐标为（0，y），

∵Q（0，2），

∴PQ=|y-2|，

当S△PQC=S△ABC=16时，

•|y-2|×4=16，

解得y=10或-6，

∴P（0，10）或（0，-6）．

（3）如图2中：过点E作EF∥AC，

∵AC∥BD

∴EF∥BD

∴∠CAE=∠AEF，∠EDB=∠DEF

∴∠CAE+∠EDB=∠AEF+∠DEF

∴∠AED=∠CAE+∠BDE

∵AE、DE分别平分∠CAB和∠ODB

∴∠CAE=∠CAB，∠BDE=∠ODB，

∵AC∥BD

∴∠ODB=∠AQD

∴∠AED=（∠CAB+∠ODB）=（∠CAB+∠AQD）=×90°=45°．

点睛：本题主要考查非负数的性质、坐标与图形、三角形的面积及平行线、角平分线的性质等知识.解题的关键在于要利用数形结合的思想在平面直角坐标系中灵活运用平行线的性质，并注意运用等量代换.