Question

如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC与点F，且交⊙O于点E，且∠AEC＝∠ODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）当tan∠AEC=，BC＝8时，求OD的长．

Answer

（1）直线BD和⊙O相切，证明见解析；（2）

【解析】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD为切线．
（2）由垂径定理可得FB=FC=4，再由三角关系得到DF=，BD可由勾股定理求出，再由△DBF∽△ODB,并根据对应线段成比例求出OD．

【解析】
（1）直线BD和⊙O相切

证明：∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC

∴∠ABC=∠ODB

∵OD⊥BC

∴∠DBC+∠ODB=90°

∴∠DBC+∠ABC=90°

∴∠DBO=90°

∴直线BD和⊙O相切．

（2）∵OD⊥BC

∴FB=FC=4

∵tan∠AEC=tan∠ODB=3:4

∴BF：DF =3:4 ，

∴DF=

利用勾股定理可求得BD=

通过证明△DBF∽△ODB,利用相似比可得OD：DB=BD：FD

所以求出OD=

点睛：本题主要考查对圆的知识综合掌握.解题的重点在于能否利用已知条件和圆的相关知识得出BD垂直于AB，而难点在于利用相似和三角关系来求线段OD的长．