Question

探索发现：如图1，已知直线l₁∥l₂，且l₃和l₁、l₂分别相交于A、B两点，l₄和l₁、l₂分别交于C、D两点，∠ACP记作∠1，∠BDP记作∠2，∠CPD记作∠3．点P在线段AB上．

（1）若∠1=20°，∠2=30°，请你求出∠3的度数

归纳总结：（2）请你根据上述问题，请你找出图1中∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并直接写出你的结论．

实践应用：（3）应用（2）中的结论解答下列问题：如图2，点A在B的北偏东40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，请你根据上述结论直接写出∠BAC的度数．

拓展延伸：（4）如果点P在直线l₃上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、

∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），写出你的结论并说明理由．

Answer

（1）500；（2）∠1+∠2=∠3；（3）850；（4）当P点在A的外侧时，∠CPD=∠2﹣∠1，当P点在B的外侧时，∠CPD=∠1﹣∠2．

【解析】试题分析：（1）过P作PM∥l1，如图所示，由l1∥l2，得到PM∥l2，即可得∠1=∠CPM=20°，∠2=∠DPM=30°，所以∠3=∠CPM+∠DPM=∠1+∠2=50°；（2）∠1+∠2=∠3，类比（1）即可得结论；（3）类比（1）的方法求解即可；(4)分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情况进行分类讨论即可.

试题解析：

（1）500 ；

（2）∠1+∠2=∠3．

（3）850

（4）当P点在A的外侧时，如图1，过P作PF∥l1，交l4于F，

∴∠1=∠FPC，∵l1∥l4，∴PF∥l2，∴∠2=∠FPD

∵∠CPD=∠FPD﹣∠FPC

∴∠CPD=∠2﹣∠1．

当P点在B的外侧时，如图2，过P作PG∥l2，交l4于G，

∴∠2=∠GPD ∵l1∥l2， ∴PG∥l1，

∴∠1=∠CPG

∵∠CPD=∠CPG﹣∠GPD

∴∠CPD=∠1﹣∠2．

点睛：本题主要考查作辅助线构造平行线，再利用平行线的性质解题，同时注意类比思想的应用．