Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD。过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE。

Answer

证明见解析.

【解析】试题分析：本题从切线的判定和性质出发，先判定△ODC≌△OBC，从平行线得到线段的比，从而证得．

试题解析：连结OD，OD∥AD，

∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO，

∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，

∴∠1＝∠2，∵OD＝OB，OC＝OC，

∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC。

∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，

∴BC⊥OB

∴∠OBC＝900，∴∠ODC＝900，∴CD⊥OD。

∴CD是⊙O的切线。

过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB。

∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴FA∥DE∥CB,

∴。

在△FAC中，∵DP∥FA, ∴。

∵FA、FD是⊙O的切线，∴FA=FD，∴。

在△ABC中，∵EP∥BC, ∴。

∵CD、CB是⊙O的切线，∴CB=CD， ，

∴， ∴DP=EP，

∴点P平分线段DE。