Question

如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的长为x, 线段OC的长为y.

（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长．

Answer

（1），定义域为；（2）OC的长为或

【解析】试题分析：由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△OAB，根据相似三角形的性质得出BC，再由OC=OB–BC得出y关于x的函数解析式；（2）由梯形的性质分情况讨论：当OD//A B时，由相似三角形对应边成比例得出AB的值,进而得出OC的长; ②当BD//OA时, 设∠ODA=,由两直线平行内错角相等和等边对等角得到∠ADB=α,由同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到∠AOB=2α，由三角形外交性质和等边对等角得到∠OAB＝∠OBA＝,由三角形内角和定理得到∠BOA＝45°，∠BOD=90°，可得BD值，由三角形相似对应边成比例得y值，进而得到OC长.

试题解析：【解析】
（1）在⊙O与⊙A中，∵OA=OB，AB=AC，∴∠ACB ＝∠ABC=∠OAB．

∴△ABC∽△OAB．

∴，∴，

∴，∵OC=OB–BC，∴y关于x的函数解析式，

定义域为．

（2）①当OD//A B时，∴，∴，

∴，∴，

∴（负值舍去）．

∴AB=，这时ABOD，符合题意.

∴OC=．

②当BD//OA时，设∠ODA=，∵BD//OA，OA=OD，∴∠BDA=∠OAD=∠ODA=，

又∵OB=OD，∴∠BOA＝∠OBD=∠ODB＝.

∵AB=AC，OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO＝．

∵∠AOB+∠OAB＋∠OBA=180°，∴，

∴，∠BOA＝45°．

∴∠ODB=∠OBD=45°，∠BOD=90°，∴BD=. ∵BD//OA，∴．

∴，∴．．

由于BDOA，符合题意.

∴当四边形ABDO是梯形时，线段OC的长为或．

或：过点B作BH⊥OA，垂足为H， BH=OH=，AH=2–，

∴.

∴.

点睛：这是一道综合性很强的题目，涉及到了圆周角定理，圆的性质，三角形内角的性质，平行的性质，相似三角形的性质等内容。当题目中给定四边形是梯形时，但不确定哪组对边是底边，这时候要对梯形的一对平行边分情况讨论.