Question

已知二次函数的图像与x轴的正半轴相交于点A（2，0）和点B、

与y轴相交于点C，它的顶点为M、对称轴与x轴相交于点N．

（1） 用b的代数式表示顶点M的坐标；

（2） 当tan∠MAN=2时，求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值．

Answer

（1）M（，）；（2），

【解析】试题分析：把点A（2，0）坐标代入二次函数解析式得出，再带回到中，配方化为顶点式即可得到顶点M的坐标；（2）先由tan∠MAN=2得出MN的长度，再分类讨论点B和N的位置关系，得出b的值，进而得出二次函数的解析式，A作AH⊥BC，根据正切函数定义即可得出∠ACB的正切值

【解析】
（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0），

∴，

∴，

∴，

∴顶点M的坐标为（，）．

（2）∵tan∠MAN=2，∴MN=2AN．

∵M（，），∴ N（，0），．

①当点B在点N左侧时， AN=，∴，．

不符合题意．

②当点B在点N右侧时， AN=， ∴，．

∴二次函数的解析式为．

∴点C（0，–10），∵点A、B关于直线MN对称，∴点B（10，0）．

∵OB=OC=10，∴BC=10，∠OBC＝45°．

过点A作AH⊥BC,垂足为H，∵AB＝8，∴AH=BH=4，∴CH＝6．

∴．