Question

如图，抛物线的顶点为C（1，﹣2），直线y=kx+m与抛物线交于A、B来两点，其中A点在x轴的正半轴上，且OA=3，B点在y轴上，点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这条抛物线交于点E．

（1）求直线AB的解析式．

（2）设点P的横坐标为x，求点E的坐标（用含x的代数式表示）．

（3）求△ABE面积的最大值．

Answer

（1）直线AB解析式为y=x﹣；

（2）E点的坐标为（x， x2﹣x﹣）；

（3）△ABE面积的最大值为．

【解析】试题分析：（1）由条件可先求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线AB解析式；

（2）由条件可知P、E的横坐标相同，又点E在抛物线上，则可表示出E点坐标；

（3）由（2）可用x表示出PE的长，则可用x表示出△ABE的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．

试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（1，﹣2），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

∵OA=3，且点A在x轴的正半轴上，

∴A（3，0），

∴0=a（3﹣1）2﹣2，解得a=，

∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣，当x=0时可得y=﹣，

∴B（0，﹣），

设直线AB解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入可得，解得，

∴y=x﹣；

（2）∵点P为线段AB上的一个动点，且PE⊥x轴，

∴点E的横坐标为x，

∵点E在抛物线上，

∴E点的坐标为（x， x2﹣x﹣）；

（3）∵点P为线段AB上的一点，

∴P（x， x﹣），则E（x， x2﹣x﹣），

∴PE=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，

由（2）可知点B到PE的距离x，点A以PE的距离为3﹣x，

∴S△ABE=PE•x+PE•（3﹣x）=PE•（x+3﹣x）=PE=（﹣x2+x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当x=时，S△ABE有最大值，最大值为，

∴△ABE面积的最大值为．