Question

如图，已知直线AB 的函数表达式为，与 x轴交点为A，与y轴交点为B．

（1） 求 A , B两点的坐标；

（2） 若点P为线段AB上的一个动点，作 PE⊥y轴于点E，PF⊥x轴于点F，连接EF．是否存在点P，使EF 的值最小?若存在，求出EF 的最小值；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）点A坐标为（－5，0），点B坐标为（0，10）；

（2）即存在点P使得 EF 的值最小，最小值为

【解析】（1）在一次函数y=2x+10中，分别令x=0，y=0，解相应方程，可求得A、B两点的坐标；

（2）由矩形的性质可知EF=OP。可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知OP⊥AB时，满足条件，由条件可证明△AOB∽△OPB，利用相似三角形的性质可求得EF的最小值.

【解析】
(1)∵ 一次函数令x = 0，则y = 10；令y = 0，则x = －5

∴ 点A坐标为（－5，0），点B坐标为（0，10）

(2) 存在点P使得 EF 的值最小，理由为：

∵ PE⊥ y轴于点E，PF⊥ x轴于点F，

∴ 四边形PEOF是矩形，且EF=OP

∵ O为定点，P在线段上AB运动，

∴ 当OP⊥AB时，OP取得最小值，此时EF最小．

∵ 点A坐标为（－5，0），点B坐标为（0，10）

∴ OA=5，O B=10，由勾股定理得：AB=

∵ ∠AOB= 90 ，OP⊥AB

∴ △AOB ∽ △OPB

∴

∴OP= ，

即存在点P使得 EF 的值最小，最小值为

“点睛”本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，在（1）中注意函数图象与坐标轴交点坐标的求法，在（2）中确定出使EF最小时P点的位置是解题的关键.