Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．

（1）实验操作：

在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：

（2）观察发现：

设点P（x，y），任一次平移，点P可能到达的点的纵、横坐标都满足一定的关系式.

例如：平移1次后2x+y=   _________；平移2次后2x+y=      ；平移3次后2x+y=      ；……由此我们知道，平移n次后点P的坐标都满足一定的关系式是         ；

（3）探索运用：

点P从点O出发经过n次平移后到达点Q，若点Q的纵坐标比横坐标大6，并且P平移的路径长不小于50，不超过56，请直接写出Q的坐标．

Answer

（1）（0，4），（1，2），（2，0）；（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）.

（2）2，4，6 2x +y=2n．

（3）点Q的坐标为（22，28），（24，30）．

【解析】试题分析：1、根据点P从原点O出发,每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度,结合点的平移的相关知识,即可确定平移后的点可能的坐标；

2、观察图形可知任意一次平移,点P可能到达的点构成的函数图象形如一次函数;

3、令平移1次后的函数解析式为y1=k1×x+b1(k1≠0),平移2次后的函数解析式为y2=k2×x+b2(k2≠0),再将对应点的坐标代入函数解析式求解即可得出第(2)问前两空的答案,综合前两空的答案可得最后一空的答案；

4、对于第(3)问,结合上述结论,可得点P平移n次后的点构成的函数,结合纵坐标比横坐标大6，即可确定点Q的坐标。

试题解析：

(1)点P从原点O出发,每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度,

平移1次后,可能达到点A、B,其中A(0,2)、B(1,0);

平移2次后,可能达到点C、D、E,其中C(0,4)、D(1,2)、E(2,0);

平移3次后,可能达到点F、G、H、I,其中F(0,6)、G(1,4)、H(2,2)、I(3,0).

填表略.

(2)观察发现,任意一次平移,点P可能到达的点构成的函数图象形如一次函数,

令平移1次后的函数解析式为y1=k1×x+b1(k1≠0),平移2次后的函数解析式为y2=k2×x+b2(k2≠0)

∵ A(0,2)、B(1,0)在y1=k1×x+b1图象上

∴ 2=b10=k1+b1

解得:b1=2k1=−2

∴ y1=−2x+2

故平移1次后的点在函数y=-2x+2的图象上.；

∵ C(0,4)、D(1,2)、E(2,0)在y2=k2×x+b2图象上

∴ 将点C、点E的坐标代入y2=k2×x+b2,得

4=b2，2=k2+b2

解得:b2=4k2=−2

∴ y2=−2x+4

将D(1,2)代入上式,满足,故平移2次后的点在函数y=-2x+4的图象上.

综上,可知平移n次后对应的点在函数y=-2x+2n的图象上.

(3) 设点Q的横坐标为x，则纵坐标为x+6.

由题意知∴.

∵点Q的坐标为正整数，∴当x=22,23,24,25时，对应y=28,29,30,31.

由2x +y=2n，得为整数.∴y=28或30.

∴点Q的坐标为（22，28），（24，30）．

点睛：本题主要考查了点的平移的相关知识和用待定系数法确定一次函数表达式.

在平面内直角坐标中,将点(x,y)向右(或向左)平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或向下)平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).

用待定系数法求函数解析式的一般步骤:①设出含有待定系数的函数解析式;②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);③解方程(组),求出待定系数;④将求得的待定系数的值代回所设的解析式.

如此题先设出平移1次后的函数解析式为y1=k1×x+b1(k1≠0),将平移1次得到的坐标A(0,2)、B(1,0)代入此解析式,解方程组即可求出确定出k1、b1,从而可得出一次函数的解析式.