Question

如图，已知关于x的二次函数y=x²+mx的图象经过原点O，并且与x轴交于点A，对称轴为直线x=1．

（1）常数m=           ，点A的坐标为         ；

（2）若关于x的一元二次方程x²+mx=n（n为常数）有两个不相等的实数根，求n的取值范围；

（3）若关于x的一元二次方程x²+mx-k=0（k为常数）在-2＜x＜3的范围内有解，求k的取值范围．

Answer

（1）常数m=-2，点A的坐标为 （2，0）；（2）n＞-1;（3）-1≤k＜3．

【解析】

试题分析：（1）根据对称轴为直线x=1，求出m的值，得到解析式，求出点A的坐标；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出n的取值范围；

（3）根据判别式和方程在-2＜x＜3的范围内有解，求k的取值范围．

试题解析：（1）∵对称轴为直线x=1，

∴-=1，m=-2，

则二次函数解析式为y=x2-2x，

x2-2x=0，x=0或2，

∴点A的坐标为 （2，0），

∴常数m=-2，点A的坐标为 （2，0）；

（2）∵一元二次方程x2-2x=n有两个不相等的实数根，

∴△=4+4n＞0，

n＞-1

（3）一元二次方程x2-2x-k=0有解，

则△=4+4k≥0，

k≥-1，

方程的解为：x=1±，

∵方程在-2＜x＜3的范围内有解，

1-＞-2，k＜8，

1+＜3，k＜3，

∴-1≤k＜3．

考点：1．抛物线与x轴的交点；2．图象法求一元二次方程的近似根．