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在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AC=AB=6,D,E分别是AB,AC的中点...

RtABC中,CAB=90°AC=AB=6DE分别是ABAC的中点,若等腰RtADE绕点A逆时针旋转,得到RtAD1E1,设旋转角为α0α≤180°),记直线BD1CE1的交点为P

1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于  ,线段CE1的长等于  

2)如图2,当α=135°时,设直线BD1CA的交点为F,求证:BD1=CE1,且BD1CE1

3)点PAB所在直线的距离的最大值是  

 

(1)当α=90°时,线段BD1的长等于,线段CE1的长等于; (2)证明见解析; (3)点P到AB所在直线的距离的最大值是. 【解析】试题分析:(1)利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和E1C的长; (2)根据旋转的性质得出,∠D1AB=∠E1AC=135°,进而求出△D1AB≌△E1AC(SAS),即可得出答案;(3)首先作PG⊥AB,交AB所在直线于点G,则D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上,当B D1所在直线与⊙A相切时,直线B D1与C E1的交点P到直线AB的距离最大,此时四边形A D1P E1是正方形,进而求出PG的长. 试题解析:(1)∵∠CAB=90°,AC=AB=6,D,E分别是边AB,AC的中点, ∴AE=AD=3, ∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°), ∴当α=90°时,AE1=3,∠E1AE=90°, ∴BD1==3,E1C==3; 故答案为:3,3; (2)证明:当α=135°时,如图2,连接CE1, ∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到, ∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°, 在△D1AB和△E1AC中 , ∴△D1AB≌△E1AC(SAS), ∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA, 记直线BD1与AC交于点F, ∴∠BFA=∠CFP, ∴∠CPF=∠FAB=90°, ∴BD1⊥CE1; (3)【解析】 如图3,作PG⊥AB,交AB所在直线于点G, ∵D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上, ∴当BD1所在直线与⊙A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大, 此时四边形AD1PE1是正方形,PD1=3,则BD1==3, 故∠ABP=30°, 则PB=3+3, 故点P到AB所在直线的距离的最大值为:PG=, 故答案为:. 点睛:此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识,根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键.  
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0     8     2     8     10    13    7    5    7    3

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