Question

如图，在直角坐标系中，点A(0，6)，B(8，0)，点C是线段AB的中点，CD⊥OB交OB于D，Rt△EFH的斜边EH在射线AB上，顶点F在射线AB的左侧，EF∥OA，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度向B运动，到点B停止，AE=EF，运动时间为t（s）.

（1）在Rt△EFH中，EF=    ，EH=     ,点F坐标为（    ，     ）（用含t的代数式表示）

（2）t为何值时，H与C重合？

（3）设△EFH与△CDB重叠部分图形的面积为S(S>0)，求S与t的函数关系式。

（4）在整个运动过程中，Rt△EFH扫过的面积是多少？

Answer

（1）EF=t,EH=点F坐标为；

（2）t=时，H与C重合；

（3）当时， ，当时， ，当时，

（4）Rt△EFH扫过的面积是.

【解析】试题分析：（1）作EM⊥OA垂足为M，由△EFH∽△AOB，得，可以求出EH，由EM∥OB，得，可以解决点F坐标．

（2）根据AE+EH=AC，列出方程即可解决．

（3）分三种情形：①如图2中，FH与CD交于点M，当时，②如图3中， ＜t≤5时，S=S△CDB=6，③如图4中，当5＜t≤10时，画出图象求出重叠部分面积即可．

（4）如图5中，在整个运动过程中Rt△EFH扫过的面积=S△AFH=•FH•（AO+BF），由此即可计算．

试题解析：（1）如图1中，作EM⊥OA垂足为M，

∵AE=EF=t，AO=6，BO=8，∠AOB=90°，

∴AB==10．

∵∠AOB=∠EFH=90°，∠EHF=∠ABO，

∴△EFH∽△AOB，

∴，即，

∴EH=t，

∵EM∥OB，

∴，

∴AM=t，EM=t，

∴点F坐标（t，6-t）．

（2）如图2中，当点H与点C重合时，

AE+EH=AC，

∴t+t=5，

∴t=

∴t=时，点H与点C重合．

（3）当点H与点B重合时，AE+EH=AB，

∴t+t=10，

∴t=，

当点E与点C重合时，t=5，

当点E与点B重合时，t=10，

①如图2中，FH与CD交于点M，当≤t≤时，

∵CH=EH-EC=EH-（AC-AE）=t-5+t=t-5．CM=CH=t-3，MH=CH=t-4，

∴S=•CM•MH=（t-3）（t-4）=t2-t+6．

②如图3中， ＜t≤5时，S=S△CDB=6，

③如图4中，当5＜t≤10时，

∵EB=AB-AE=10-t，EM=EB=6-t，BM=EB=8-t，

∴S=•EM•MB=•（6-t）（8-t）=（10-t）2．

综上所述： ， ，

（4）如图5中，在整个运动过程中Rt△EFH扫过的面积=S△AFH=•FH•（AO+BF）=××16=．